PENERAPAN MAPLE PADA PENYELESAIAN MATEMATIKA

Pembuatan Animasi

Contohnya

1. Buatlah grafik animasi yang menggambarkan fungsi f(x) = sin(ax) untuk a yang berubah-ubah mulai dari a = 1 s/d 2. Sedangkan domain    fungsinya sama dengan [-10,10].

Script penyelesaian:

  • With(plots):
  • Animate(sin(a*x), x = -10..10, a =1..2, (frame=50);à ENTER

animasi

Running program

a

2.  Aplikasi Maple pada persamaan Linier

      Sistem Persamaan Linier dalam Maple

Bentuk umum penulisan matriks :

Matrix(r, c, init, ro)

Keterangan parameter :

r = (pilihan) interval bilangan bulat atau bilangan bulat non-negatif dengan batas kiri 1; jumlah baris dalam matriks.

c = (pilihan) interval bilangan bulat atau bilangan bulat non-negatif dengan batas kiri 1; jumlah kolom dalam matriks.

Init : (pilihan) procedure, table, array, list, array, matrix, himpunan persamaan, ekspresi aljabar, nilai awal matriks

ro = (pilihan) BooleanOpt (readonli), menentukan apakah nilai matriks tersebut dapat diubah.

   Penjelasan :

– bentuk fungsi matrix(..) adalah pembentuk struktur data matriks, seperti matriks, vector dan scalar. Semua parameter sifatnya    optional(pilhan), boleh digunakan ataupun tidak. Apabila tidak ada parameter, maka dianggap matriks 0 x 0.

– Bentuk fungsi matriks (r) untuk membentuk r x r, dimana nilai-nilainya ditentukan oleh nilai fill dalam parameter f (standarnya adalah 0).

– Bentuk fungsi matrik (r,c) untuk membentuk matrik r x c, dimana nilai-nilainya ditentukan oleh nilai fill dalam parameter f (standarnya adalah 0). Jika jumlah kolom (c) tidak ditentukan, maka ordo matriks mengikuti jumlah baris. Jumlah kolom tidak dapat ditentukan jika tidak menentukan dulu jumlah barisnya.

– Bentuk fungsi matrix (init) membentuk sebuah matriks yang bentuk dan nilai-nilainya ditentukan oleh parameter init.

– Bentuk fungsi matrix (r,c,init) membentuk sebuah matrik r x c yang nilai-nilai awalnya ditentukan oleh parameter init (dan parameter f jika semua nilai dalam matriks tidak ditentukan oleh init. Jika nilai-nilai awal matriks tidak ditentukan, maka semua nilai elemen matriks dianggap 0 (nol).

Contoh penulisan matriks dalam Maple

– Matriks 2 x 2 dengan elemen 0

Matrix(2);

k

–  Matriks 2 x 3 dengan elemen 0

Matrix(2,3);

2_clip_image004

–  Matriks 2 x 3 dengan elemen 5

Matrix(2,3,5);

2_clip_image002_0000

–  Matriks 2 x 3 dengan elemen-elemen yang berbeda

Matrix(2,3,[[1,2,3], [4,5,6]])

2_clip_image004_0000

–  Array

Bentuk fungsi : array (batas);

Contoh :

a:=array(1..2);

a[1]:=x;

a[2]:=y;

print(a)

hasil :

a : =array(1..2,[  ])

a1:= x

a2:= y

[x,y]

– Determinan matriks

Bentuk fungsi : det(matriks)

Dalam menentukan determinan suatu matriks, matriks tersebut haruslah berbentuk matriks bujur sangkar. Perintah yang perlu ditambahkan disini adalah with (linalg).

Contoh :

With(linalg);

b:=Matrix(2,2,[[14,10],[3,5]]);

c

det(b):

40

Running Program

5

–  Invers matriks

Bentuk fungsi : inverse(matriks)

Matriks yang akan dicari inversnya harus berbentuk matriks bujur sangkar. Disini juga perlu ditambahkan perintah with(linalg).

Contoh :

With(linalg);

c:=Matrix(2,2,[[2,4],[6,5]]);

6

 

inverse(c);

7

Running program

8

Penerapan Maple dalam Sistem Persamaan Linier

Misalkan diberikan suatu system persamaan linier sebagai berikut :

2x + y + z = 4

x – y – z = -1

x + y + 2z = 4

Akan dicari nilai-nilai variabel x, y, z.

System persamaan linier diatas dapat ditulis dalam bentuk perkaliaan matriks AX = B. kita tentukan matriks-matriksnya sebagai berikut :

80

Untuk mendapatkan nilai x, y dan z dapat kita cari dengan menentukan invers matriks A, sehingga menjadi 70

Dengan menggunakan Maple, lakukan langkah-langkah berikut :

With(linalg);

A:=Matrix(3,3,[[2,1,1],[1,-1,-1],[1,1,2]]);

60

B:=Matrix(3,1,[[4],[-1],[4]]);

50

C:=inverse(A);

40

multiply(C,B);

30

Jadi, hasil dari x, y, z masing-masing adalah 1,1,1.

Running Program

11

3. Aplikasi Maple pada Persamaan Diferensial Eksak

Suatu persamaan diferensial orde pertama

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

dikatakan eksak jika ruas kiri persamaan ini merupakan diferensial total dari suatu fungsi u(x,y). Maka persamaan diferensial itu dapat dituliskan dengan

du = 0

Dengan pengintegralan, langsung kita peroleh solusi umum yang berbentuk

u(x,y) = c

syarat perlu dan cukup agar persamaan diferensial

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

merupakan persamaan diferensial eksak adalah

> diff(M(x,y),y)=diff(N(x,y),x);

2_clip_image002

Fungsi u(x,y) dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:

Dari :

2_clip_image002_0000

>diff(u(x,y),x)=M(x,y); diff(u(x,y),y)=N(x,y);

dengan mengintegralkan M(x,y) terhadap x dan y diperlukan sebagai konstan diperoleh

> u≔Int(M(x,y),x)+k(y);

2_clip_image004

di mana k(y) merupakan fungsi dari y saja dan berperan sebagai suatu konstanta integrasi.

Untuk menentukan k(y), kita menggunakan hubungan

> diff(u,y)=N(x,y);

2_clip_image006

di mana k(y) merupakan fungsi dari y saja dan berperan sebagai suatu konstanta integrasi.

Untuk menentukan k(y), kita menggunakan hubungan

> diff(u,y)=N(x,y);

2_clip_image008

>restart;

>M:=^2;

M:=y2

>N:=2*x*y;

N:=xy

>M[y:=diff(M,y); N[x]:=diff(N,x);

My:=2y

>M[y] – N[x];

0

Dari sini persamaan diferensial itu adalah eksak. Sekarang kita mendapatkan dua ekspresi u1 dan u2 untuk u(x,y), yang satu melalui pengintegrasian M terhadap x, dan yang lainnya melalui pengintegrasian N terhadap y.

> u1:=int(y^2,x);

u1:=y2 x

>u2:=int(2*x*y,y);

u2:=y2 x

Jadi solusi umum persamaan ini adalah

>u(x,y):=x*y^2=c;

u(x,y) := x y2 = c

>up:=subs(c=2,u(x,y));

up:=x y2 = 2

>up1:=x*y^2 – 2;

up1:= x y2 – 2

Apabila menjumpai persamaan diferensial tidak eksak, dimungkinkan untuk mereduksi persamaan diferensial tidak eksak menjadi persamaan diferensial eksak dengan mengalikan persamaan itu dengan sebuah fungsi F(x,y), yang kemudian dinamakan sebuah faktor integrasi. Jika sebuah persamaan mempunyai sebuah faktor integrasi yang hanya bergantung pada salah satu dari dua variabel (suatu sifat yang harus didapatkan melalui percobaan), faktor ini dan solusi dari persamaan diferensial eksak yang dihasilkan dapat diperoleh secara sistematik. Untuk lebih jelasnya mari kita perhatikan contoh berikut ini untuk menemukan solusi persamaan diferensial dengan faktor integrasi.

DAFTAR PUSTAKA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s